BAB II GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

Pendahuluan :

titik titik bergerak secara kontinu :

titik titik bergerak secara diskrit :

A.Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi 

garis adalah kurva yang lurus.
sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu jika dinyatakan sebagai berikut :
Ax + By + C = 0 untuk A , B , C adalah bilangan Real dan x , y adalah variabel bilangan real. Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu apabila diketahui 3 buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

contoh 1 :

garis

contoh diatas merupakan contoh garis yang melalui titik (3,0) dan (0,2).

contoh 2 :
garis kurva berderajat 1

sebuah garis melalui titik A (1,2) , B (-3,4) dan C(5,0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut :

diketahui :

Garis melalui titik A , B dan C .

ditanya :
persamaan kurva berderajat satu??

jawab :

tahap 1 yaitu subtitusikan koordinat titik kedalam persamaan kurva.
persamaan kurva : Ax +By + C = 0

1. untuk A (1,2)

A(1) + B(2) + C = 0
A + 2B + C = 0 ... (1) Pers. 1

2. untuk B ( -3,4)

A(-3) + B(4) + C = 0
-3A + 4B + C = 0 ... (2) pers. 2

3. untuk C(5,0)

A(5) + B(0) + C = 0
5A + C = 0
C = -5A ... (3) pers. 3

kemudian , masukan pers 3 ke dalam persamaan 1 dan 2

A+ 2B + C = 0
A + 2B - 5A = 0
-4A + 2B = 0
2B = 4A
B = 2A  ... (4) pers. 4

-3A + 4B + C = 0
-3A + 4B -5A = 0
-8A + 4B = 0 ... (5) pers. 5

maka persamaannya adalah :
Ax +By + C = 0
Ax+2Ay - 5A = 0
misal A = 1
maka x + 2y - 5 = 0 sehingga m = -A/B = -1/2

kemudian .berdasarkan gambar diatas dapat dilihat bahwa terdapat sudut inklinasi yang terbentuk

ket:
sudut inklinasi : sudut yang bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif (angle of indination)

dan terdapat k dan l yang memiliki hubungan yaitu sejajar.
maka :

sehingga m = - A/B

atau m= tan α = y2 - y1 / x2 -x1 sehingga α : arc tan m 

jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklinasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x dimana x merupakan variabel bebas dan y adalah variabel terikat sehingga terbentuk sebagai berikut :

Ax+By+C = 0 sehingga By = -Ax+C  maka y = -A/Bx -  C/B akibatnya

y = mx + c (persamaan garis lurus)

B. Persamaan Garis melalui Dua Titik.

persamaan garis melalui dua titik yaitu :

dan persamaan dua titik yang bergradien yaitu :
(y-y1) = m (x-x1)

contoh :
tentukan persamaan dari titik (2,3) dan (-5,-1)

jawab :

menggunakan persamaan garis lurus :
garis melalui (2,3)
3 = 2m + C ...(1)

garis melalaui (-5,-1)
-1 = -5m + C ... (2)

kemudian , kedua persamaan tersebut di eliminasi sehingga :

C = 3-2m 

    = 3 - 2 (4/7)

    = 13 / 7

maka persamaan garis melalui titik (2,3) dan (-5,-1) adalah 

y = 4x/7 + 13/7

Persamaan Normal Sebuah Garis.

contoh :

persamaan kurva berderajat satu x + 2y -5 = 0

jawab :

diketahui : m =-1/2
2y = -x + 5
y = -1/2x + 5/2 sehingga m = -1/2

titik potong sumbu x jika y = 0
maka x = 5 (5 , 0)
dan titik potong sumbu y jika x = 0
y = 5/2  (0 , 5/2)

m = tan α

α = arc tan m

α = arc tan (-1/2)

kemungkinan nilai α

  90◦ < α <  180◦

atau 270◦ < α < 360◦ 

berdasarkan sifat sudut ditetapkan  90◦ < α <  180◦

α = arc tan (-1/2)

α = 26,57◦

tan α = 180◦ - 26,57◦ 

α        = 153,47◦

β = α- 90◦ 

β = 153,47◦ - 90◦

β = 63,43◦

sehingga cos 63,43◦ = 0,447
sin β  = 2 cos β = 2.  0,447 = 0,894
p = 5 cos β = 5 . 0,447 = 2,235 = 2,24

maka persamaan normal garis x + 2y -5 = 0 yaitu :
x cos β + y sin β – p = 0

0,447x + 0,894y – 2,235 = 0   

C. Persamaan Normal dari Suatu Garis

x cos β + y sin β – p = 0

persamaan garis normal :

∠APB + ∠BPC = 180^O

∠APB = ∠DPC = γ

∠APD = ∠BPC = θ

Gradien garis g = m_g = x_g = arc tan m_g

Gradien garis h =m_h = x_h = arc tan m_h

Sudut antara 2 garis berpotongan 

tan γ = m_{h -} m_{g  / 1 +} m_hm_g

contoh :

garis g : 2x + 3y = 10

garis h : x - 3y     = -3

gradien  m_{g = -2/3} 

_gradien  m_{h =   1/3}

_sehingga m_h >  m_g. 

_{sudut antara g dan h}

 _tan γ :   m_{h -} m_{g  / 1 +} m_hm_g

              _{: (1/3 + 2/3) / ( 1 - 1/3.2/3 )}

            _{: 1 / (7/9)}

            _{: 9/7}

 γ         : arc tan 9/7

 γ         : 52,12◦

tan  θ : m_{h -} m_{g  / 1 +} m_hm_g

               _{:(-2/3 - 1/3 ) / ( 1 - 1/3.2/3 )}

         θ :  arc tan (-9/7)

         θ  : 127,87◦

Kesimpulan :

hubungan sudut inklinasi dan gradien 

m: tan α 

sebuah garis mempunyai garis normal

garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis biasa dan melalui titik ( 0, 0 )

garis yang berpotongan membentuk 4 sudut ( 2 sudut berpijar yang bernilai sama )